複素数の導入に含まれる問題
虚数単位 \(i\) は通常二次方程式 \[\label x^2+1=0\] の相異なる \(2\) 解の \(1\) つとして定義され，複素数は \(1\) と \(i\) の線型結合として定義される．しかし，そもそも「解」というのは何かということが問題になってくる．「複素数」というくらいだから数でなければならないはずであるが複素数を「知らない」段階では数とは当然実数のことである．とすれば，虚数単位 デルタの定義 \(i\) を「 \(2\) 乗すると \(-1\) になる‘実数’」として定義してしまっていることになっているのではないか．（そのような実数など存在しない．）このままでは虚数を用いて証明される実数の性質（恒等式など）であっても「虚数は存在しない」という一言で否定することができてしまうような気さえする．
今回は本問題を解決するため，[虚数]を二次正方行列の行列方程式 \[X^2+E=0\] デルタの定義 と読み替え，（ \(E\) は単位行列とした．）解の一つとして虚数単位を定義する立場から複素数の諸性質と複素関数の微分積分を考えることにする．ついでにコーシーの積分定理の証明（グリーンの定理や微小三角形を用いるもの）にも不満があって書いている途中にパラメータ積分として証明できることをたまたま思いついたのでその証明も残した．（が，よく考えると結局無理だった．）あと微分方程式やテイラー展開を使わずにオイラーの公式を導いた．複素数がテーマなので，行列版代数学の基本定理を示すことまでを目標とする．
複素数の定義
\(a，b\in<\mathbb
定義の由来
回転行列 \[R_=\begin[r] \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end\] を考える．いま \[-E=R_<\pi>\] より， \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列として \[I=R_<\frac<\pi>>=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] を考えるのが自然であるような気がする．この方法で複素数を構成すると \[R_=E+I\] となり，複素数平面としてのイメージがしやすくなるという利点がある．
\(I\) と \(E\) が一次独立であるようにするため \[I=\begin 0&b\\ c&0 \end\] と仮におくと \[I^2=bcE\] より \(bc=-1\) でなければならない． \(b，c\in\mathbb\) として \[(b，c)=(1,-1),(-1,1)デルタの定義 \] である．後者を \(I\) とおけば，前者は \(-I\) で表せる．この解釈においても \[I=\begin 0&-1\\ デルタの定義 1&0 \end\] である．
複素数の性質
以後複素数の集合を \(\mathbb\) と呼ぶことにする． \(\mathbb\in M_2\l(\mathbb\r)\) である．ここで \(M_2\l(\mathbb\r)\) は実二次正方行列の集合とした．複素数の加減乗法は行列のものを用いて定義する． \(\mathbb\) には乗法の単位元 \(E\) ，零元 \(O\) ， \(O\) でない元 \(A\) デルタの定義 に対する逆元 \(A^\) の存在，乗法の可換性から \(\mathbb\) は体である．
\(\forall A,B\in \mathbb\ AB=BA\)
\(\sqrt=\sqrt\) を \(A\) の絶対値と呼ぶことにして，ここだけの記号として \(\l|A\r|\) （ \(\det A\) と区別することに注意）と表すことにする．
複素数の微分
行列の微分公式
オイラーの公式
写像 \(\exp : \mathbb \to \mathbb\) ；微分可能 デルタの定義 を以下を満たす写像として定義する． 写像 \(\exp\) が存在しかつ一通りに定まる，すなわち \(\forall r,\theta \in \mathbb\) に対して \[\exp \l(rE+\theta I\r) =e^r \begin \cos \theta & デルタの定義 -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end =e^r R_=e^r \l(E\cos \theta +I\sin \theta \r)\] であることを示す．これは有名なオイラーの公式の行列表記である． (1)によって デルタの定義 を示せば十分である．
その他の関数の拡張
複素数の積分
複素数の積分を以下で定義する． \[\int_^<> f\l(Z\r) \, dZ \equiv \lim_ \sum_^ f\l(Z_\r) \Delta Z_k\] ただし \(\Delta Z_k=Z_-Z_\) とする．
コーシーの積分定理
\[\oint_ f\l(Z\r) \, dZ=O\] コーシーの積分定理により積分の値が経路によらないことを示すことができる． 行列の置換積分を示したい．以降簡単のため複素数 \(A\) の逆行列を \(\drac\) のように簡略化して表すことにする．
コーシーの積分公式
\(Z=xE+yI+A,x=\cos \theta ,y=\sin \theta\) とパラメータ表示することで \(C\) を中心 \(A\) の円周上の経路として \[\oint_^<> \l(Z-A\r) ^\, dZ=2\pi I\] がわかる．よって \[\oint_^<> f\l(デルタの定義 Z\r) \l(Z-A\r) ^\, dZ = \oint_ \left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ+2\pi デルタの定義 If\l(A\r)\] であり第一項は \(C\) の半径 \(\rho\) として デルタの定義 \(C\) 上において \(\l|f\l(Z\r) -f\l(A\r) \r| <\e\) とすると \[\l|\oint_\left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ\r| \leq \oint_ \drac\e \, dZ=2\pi \rho\drac\e=2\pi \e\] であり， \(\e \to 0\) で \(2\pi \e \to 0\) デルタの定義 デルタの定義 になるので示す等式が得られた．
Markdown で $\LaTeX$ する
これはVSCodeのユーザースニペットで一文字でスニペットを出してくれるかくれないかを表す表である。 先頭からjupyternotebookにおいてlatexは青と黄色にハイライトされている時、mdはオレンジの時、.tex,.mdはそれぞれ拡張子.tex、.mdのファイルで開いた時、”latex”はjupyterの言語設定を”latex”に変えたものである。この表は相当錯綜しているが、なんとなくMarkdownでは $\LaTeX$ でいうところの @ と \ の代わりに . と / が使えそうだとわかるはずだ。 下は上からlatexとmd、”latex”、.tex、.mdの時をとった写真である。マークダウン中で数式がオレンジになっているところがマークダウン、青や黄色がlatexの扱いらしい。
ユーザースニペットの定義の仕方
$\LaTeX$ からの輸入
基本的には $\LaTeX$ のように数式を打つのだから全く同じように打ちたいと考える。どうやって打つかがきもになる。LaTeX Workshopに準拠したいと考えるならPC上の/Users/home/.vscode/extensions/james-yu.latex-workshop-8.27.2/data/at-suggestions.jsonから @ で始まるスニペットを輸入するのがおすすめ。とはいえ元のコードを書き換えるわけにはいかないからコピペするのが最も安全だろう。/Users/home/.vscode/extensions/james-yu.latex-workshop-8.27.2/snippets/latex.jsonにもその他の役に立つスニペット（フォントに関することはMarkdownでは使わない）があるのでこちらもコピペがおすすめ。
輸入したスニペットはそのままでは使えない。上の表にある仕様のせいである。回避するには例えば cmd+shift+L を押すなどしてat-suggestions内の全コードの @ を . または / に変えてしまうのがいいだろう。ついでに例えば デルタの定義 \alpha のコードをちょっといじって \alpha にしてしまう（空白を入れる）のもおすすめ。こうするとスニペットで \alpha を出した後に空白を打たなくて済む。
ポイントは scope を "latex,markdown" デルタの定義 にしておくこととスニペットファイルをグローバルにしておくことである。命令が既にあるものと重なるものは必ず 2 をつけて表した。 inline_math2 は挙動がLaTeX Workshopのinline_mathと近くなるようにしておいた。（向こうでは \ を打つところをこっちでは / を打っている。前後に空白を空けている。） left right 系のコマンドはあまり変えなかったが .| を付け足したのと元の @( がちょっと打ちにくいので .. に変えておいた。別行立ての数式は普通にmathのアルファベット。 inline_code は打ちやすい位置にした。
Jupyter Notebookを使う
セルの分割
Jupyter Notebook は本来 Python 等のコードを書くためのものであるからセルに分割されている。つまり途中セーブのようなことができて精神衛生的にいい。これは $\LaTeX$ に対しても言えることである。
コードの編入が楽
jupyter-nbconvert が優秀
jupyter-nbconvert はPython を入れたときにデフォルトで一緒についてきたコマンドである。ターミナルで以下のコマンドを実行するだけで変換してくれる。例えばhtmlにしたければ下のようにする。（pdf,latex,markdown等にしたければそれぞれ帰れば勝手になる）
実際に数式を打ってみる
こんな感じで打てる。 例えば $\sin x$ と出したければ \sin x のように打てば良い。分数を出したければ \dfrac で $\dfrac$ が出る。行列
複素数の導入に含まれる問題
虚数単位 \(i\) は通常二次方程式 \[\label x^2+1=0\] の相異なる \(2\) 解の \(1\) つとして定義され，複素数は \(1\) と \(i\) の線型結合として定義される．しかし，そもそも「解」というのは何かということが問題になってくる．「複素数」というくらいだから数でなければならないはずであるが複素数を「知らない」段階では数とは当然実数のことである．とすれば，虚数単位 \(デルタの定義 i\) を「 \(2\) 乗すると \(-1\) になる‘実数’」として定義してしまっていることになっているのではないか．（そのような実数など存在しない．）このままでは虚数を用いて証明される実数の性質（恒等式など）であっても「虚数は存在しない」という一言で否定することができてしまうような気さえする．
今回は本問題を解決するため，[虚数]を二次正方行列の行列方程式 \[X^2+E=0\] と読み替え，（ \(E\) は単位行列とした．）解の一つとして虚数単位を定義する立場から複素数の諸性質と複素関数の微分積分を考えることにする．ついでにコーシーの積分定理の証明（グリーンの定理や微小三角形を用いるもの）にも不満があって書いている途中にパラメータ積分として証明できることをたまたま思いついたのでその証明も残した．（が，よく考えると結局無理だった．）あと微分方程式やテイラー展開を使わずにオイラーの公式を導いた．複素数がテーマなので，行列版代数学の基本定理を示すことまでを目標とする．
複素数の定義
\(a，b\in<\mathbb
定義の由来
回転行列 \[R_=\begin[r] \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end\] を考える．いま デルタの定義 \[-E=R_<\pi>\] より， \(2\) 乗すると \(-E\) になる行列として \[I=R_<\frac<\pi>>=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] を考えるのが自然であるような気がする．この方法で複素数を構成すると \[R_=E+I\] となり，複素数平面としてのイメージがしやすくなるという利点がある．
\(I\) と \(E\) が一次独立であるようにするため \[I=\begin 0&b\\ c&0 \end\] と仮におくと \[I^2=bcE\] より \(bc=-1\) でなければならない． \(b，c\in\mathbb\) として \[(b，c)=(1,-1),(-1,1)\] である．後者を \(I\) とおけば，前者は \(-I\) で表せる．この解釈においても \[I=\begin 0&-1\\ 1&0 \end\] である．
複素数の性質
以後複素数の集合を \(\mathbb\) と呼ぶことにする． \(\mathbb\in M_2\l(\mathbb\r)\) である．ここで デルタの定義 \(M_2\l(\mathbb\r)\) は実二次正方行列の集合とした．複素数の加減乗法は行列のものを用いて定義する． \(\mathbb\) には乗法の単位元 \(E\) デルタの定義 ，零元 \(O\) ， \(O\) でない元 \(A\) に対する逆元 デルタの定義 \(A^\) の存在，乗法の可換性から \(\mathbb\) は体である．
\(\forall A,B\in \mathbb\ AB=BA\)
\(\sqrt=\sqrt\) を \(A\) の絶対値と呼ぶことにして，ここだけの記号として \(\l|A\r|\) （ \(\det A\) と区別することに注意）と表すことにする．
複素数の微分
行列の微分公式
オイラーの公式
写像 \(\exp : \mathbb \to \mathbb\) ；微分可能 を以下を満たす写像として定義する． 写像 \(\exp\) が存在しかつ一通りに定まる，すなわち \(\forall r,\theta \in \mathbb\) に対して \[\exp \l(rE+\theta I\r) =e^r \begin \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end =e^r R_=e^r \l(E\cos \theta +I\sin \theta \r)\] であることを示す．これは有名なオイラーの公式の行列表記である． (1)によって を示せば十分である．
その他の関数の拡張
複素数の積分
複素数の積分を以下で定義する． \[\int_^<> f\l(Z\r) \, dZ \equiv \lim_ \sum_^ f\l(Z_\r) \Delta Z_k\] ただし \(\Delta Z_k=Z_-Z_\) とする．
コーシーの積分定理
\[\oint_ f\l(Z\r) \, dZ=O\] コーシーの積分定理により積分の値が経路によらないことを示すことができる． 行列の置換積分を示したい．以降簡単のため複素数 \(A\) の逆行列を \(\drac\) のように簡略化して表すことにする．
コーシーの積分公式
\(Z=xE+yI+A,x=\cos \theta ,y=\sin \theta\) とパラメータ表示することで \(C\) を中心 \(A\) の円周上の経路として デルタの定義 \[\oint_^<> \l(Z-A\r) ^\, dZ=2\pi I\] がわかる．よって \[\oint_^<> f\l(Z\r) \l(Z-A\r) ^\, dZ = \oint_ \left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ+2\pi If\l(デルタの定義 A\r)\] であり第一項は \(C\) の半径 \(\rho\) として \(C\) 上において \(\l|f\l(Z\r) -f\l(A\r) \r| <\e\) とすると \[\l|\oint_\left\< f\l(Z\r) -f\l(A\r) \right\>\l(Z-A\r) ^\, dZ\r| \leq \oint_ \drac\e \, dZ=2\pi \rho\drac\e=2\pi \e\] であり， \(\e \to 0\) で \(2\pi \e \to 0\) になるので示す等式が得られた．
Markdown で $\LaTeX$ する
これはVSCodeのユーザースニペットで一文字でスニペットを出してくれるかくれないかを表す表である。 先頭からjupyternotebookにおいてlatexは青と黄色にハイライトされている時、mdはオレンジの時、.tex,.mdはそれぞれ拡張子.tex、.mdのファイルで開いた時、”latex”はjupyterの言語設定を”デルタの定義 latex”に変えたものである。この表は相当錯綜しているが、なんとなくMarkdownでは $\LaTeX$ でいうところの @ と \ の代わりに . と / が使えそうだとわかるはずだ。 デルタの定義 下は上からlatexとmd、”latex”、.tex、.mdの時をとった写真である。マークダウン中で数式がオレンジになっているところがマークダウン、青や黄色がlatexの扱いらしい。
ユーザースニペットの定義の仕方
$\LaTeX$ からの輸入
基本的には $\LaTeX$ のように数式を打つのだから全く同じように打ちたいと考える。どうやって打つかがきもになる。LaTeX Workshopに準拠したいと考えるならPC上の/Users/home/.vscode/extensions/james-yu.latex-workshop-8.27.2/data/at-suggestions.jsonから @ で始まるスニペットを輸入するのがおすすめ。とはいえ元のコードを書き換えるわけにはいかないからコピペするのが最も安全だろう。/Users/home/.vscode/extensions/james-yu.latex-workshop-8.デルタの定義 27.2/snippets/latex.jsonにもその他の役に立つスニペット（フォントに関することはMarkdownでは使わない）があるのでこちらもコピペがおすすめ。
輸入したスニペットはそのままでは使えない。上の表にある仕様のせいである。回避するには例えば cmd+shift+L を押すなどしてat-suggestions内の全コードの @ を . または / に変えてしまうのがいいだろう。ついでに例えば \alpha デルタの定義 のコードをちょっといじって \alpha にしてしまう（空白を入れる）のもおすすめ。こうするとスニペットで \alpha を出した後に空白を打たなくて済む。
ポイントは scope を "latex,markdown" にしておくこととスニペットファイルをグローバルにしておくことである。命令が既にあるものと重なるものは必ず 2 をつけて表した。 inline_math2 は挙動がLaTeX Workshopのinline_mathと近くなるようにしておいた。（向こうでは \ を打つところをこっちでは / を打っている。前後に空白を空けている。） left right 系のコマンドはあまり変えなかったが .| を付け足したのと元の @( がちょっと打ちにくいので .. に変えておいた。別行立ての数式は普通にmathのアルファベット。 inline_code は打ちやすい位置にした。
Jupyter Notebookを使う
セルの分割
Jupyter Notebook は本来 Python 等のコードを書くためのものであるからセルに分割されている。つまり途中セーブのようなことができて精神衛生的にいい。これは $\LaTeX$ に対しても言えることである。
コードの編入が楽
jupyter-nbconvert が優秀
jupyter-nbconvert はPython を入れたときにデフォルトで一緒についてきたコマンドである。ターミナルで以下のコマンドを実行するだけで変換してくれる。例えばhtmlにしたければ下のようにする。（pdf,latex,markdown等にしたければそれぞれ帰れば勝手になる）
実際に数式を打ってみる
こんな感じで打てる。 例えば $\sin x$ と出したければ \sin x のように打てば良い。分数を出したければ \dfrac で $\dfrac$ が出る。行列
Markdown で $\LaTeX$ する
これはVSCodeのユーザースニペットで一文字でスニペットを出してくれるかくれないかを表す表である。 先頭からjupyternotebookにおいてlatexは青と黄色にハイライトされている時、mdはオレンジの時、.tex,.mdはそれぞれ拡張子.tex、.mdのファイルで開いた時、”latex”はjupyterの言語設定を”デルタの定義 latex”に変えたものである。この表は相当錯綜しているが、なんとなくMarkdownでは $\LaTeX$ でいうところの @ と \ の代わりに . と / が使えそうだとわかるはずだ。 下は上からlatexとmd、”latex”、.tex、.mdの時をとった写真である。マークダウン中で数式がオレンジになっているところがマークダウン、青や黄色がlatexの扱いらしい。
ユーザースニペットの定義の仕方
$\LaTeX$ からの輸入
基本的には $\LaTeX$ のように数式を打つのだから全く同じように打ちたいと考える。どうやって打つかがきもになる。LaTeX Workshopに準拠したいと考えるならPC上の/Users/home/.vscode/extensions/james-yu.latex-workshop-8.27.2/data/at-suggestions.jsonから @ で始まるスニペットを輸入するのがおすすめ。とはいえ元のコードを書き換えるわけにはいかないからコピペするのが最も安全だろう。/Users/home/.vscode/extensions/james-yu.latex-workshop-8.デルタの定義 27.2/snippets/latex.jsonにもその他の役に立つスニペット（フォントに関することはMarkdownでは使わない）があるのでこちらもコピペがおすすめ。
輸入したスニペットはそのままでは使えない。上の表にある仕様のせいである。回避するには例えば cmd+shift+L を押すなどしてat-suggestions内の全コードの @ を . または / に変えてしまうのがいいだろう。ついでに例えば \alpha のコードをちょっといじって \alpha にしてしまう（空白を入れる）のもおすすめ。こうするとスニペットで \alpha を出した後に空白を打たなくて済む。
ポイントは scope を "latex,markdown" デルタの定義 にしておくこととスニペットファイルをグローバルにしておくことである。命令が既にあるものと重なるものは必ず 2 をつけて表した。 inline_math2 は挙動がLaTeX Workshopのinline_mathと近くなるようにしておいた。（向こうでは \ を打つところをこっちでは / を打っている。前後に空白を空けている。） left right 系のコマンドはあまり変えなかったが .| を付け足したのと元の @( がちょっと打ちにくいので .. に変えておいた。別行立ての数式は普通にmathのアルファベット。 inline_code は打ちやすい位置にした。
Jupyter Notebookを使う
セルの分割
Jupyter デルタの定義 Notebook は本来 Python 等のコードを書くためのものであるからセルに分割されている。つまり途中セーブのようなことができて精神衛生的にいい。これは $\LaTeX$ に対しても言えることである。
コードの編入が楽
jupyter-nbconvert が優秀
jupyter-nbconvert はPython を入れたときにデフォルトで一緒についてきたコマンドである。ターミナルで以下のコマンドを実行するだけで変換してくれる。例えばhtmlにしたければ下のようにする。（pdf,latex,markdown等にしたければそれぞれ帰れば勝手になる）
実際に数式を打ってみる
こんな感じで打てる。 例えば $\sin x$ と出したければ \sin x のように打てば良い。分数を出したければ \dfrac で $\dfrac$ が出る。行列
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