デルタ関数とその性質

0 < a < 1 のとき、x の値が増加すると、ｙの値は減少する。

確率密度関数

確率論において、確率密度関数（かくりつみつどかんすう、英: probability density function、PDF）とは連続確率変数がある値をとるという事象の相対尤度を記述する関数である。確率変数がある範囲の値をとる確率を、その範囲にわたって確率密度関数を積分する事により得ることができるよう定義される。例えば単変数の確率分布を平面上のグラフに表現して、x軸に“ある値”を、y軸に“相対尤度”を採った場合、求めたい範囲（x値）の下限値と上限値での垂直線と、変数グラフ曲線とy=0の直線とで囲まれる範囲の面積が確率の密度に相当する。確率密度関数は常に非負であり、取り得る範囲全体を積分するとその値は1である。

確率分布関数 (probability distribution function)[1] あるいは確率関数 (probability function)[2] という用語は確率密度関数を指しているが、確率論研究者や統計学者の間では標準的でないとされる場合がある。他の資料に拠れば「確率密度関数」は値の集合に対する関数として定義されたり、累積分布関数との関係で言及されたり、確率質量関数の意味で使われたりする。さらには、密度関数 (density function) という用語が確率質量関数の意味で用いられている場合もある[3]。

例として、寿命が4〜6時間に一様に分布するバクテリアが居ると仮定する。この時バクテリアの寿命が丁度5時間である確率はどれ位だろうか？ 答えは0%である。およそ5時間で寿命を迎えるバクテリアはある程度居るが、正確に5.0000000000. 時間である確率は無視し得る。

一方で、寿命が5〜5.デルタ関数とその性質 01時間である確率は如何であろうか？ その答えは2%である。では、その1⁄10の範囲の5〜5.001時間である確率は？ 答えは2%×1⁄10=約0.2%となる。さらにその1⁄10の範囲の5〜5.0001時間である確率は、およそ0.02%である。

従って、「バクテリアの寿命が5時間である確率」を問われた時、真の答えは0%であるが、より実用的には、(2時間)−1dtであると言える。これは“丁度5時間”を含む無限小の時間範囲を表現するもので、dt はその時間範囲を意味する。例えば、丁度5時間〜5時間+1ナノ秒の寿命である確率は、(2時間)−1 × 1ナノ秒 = 6 × 10−13 である。

(2時間)−1という量は、バクテリアの寿命が5時間である確率密度であり、確率密度関数 f は

と表現される。f を取り得る時間範囲（微小に限らない）で積分すると、当該時間範囲内でバクテリアの寿命が尽きる確率を求めることができる。例えば、寿命が丁度5時間〜6時間である確率は (2時間)−1 × 1時間 = 0.5 である。

確率密度関数は多くの場合、絶対連続型の単変数分布（英語版）として考える。確率変数 X の密度fX を考え、fX が非負のルベーグ可積分な関数であるとする。ここで、

である。従って、もし FX を X の累積分布関数とすると、

となる。直観的に、微小区間 [x, x + dx] に含まれる値を X がとる確率は fX(x)dx であると判る。

可測空間 デルタ関数とその性質 （通常、Rn に可測集合としてボレル集合を考えたもの）中に存在する確率変数 X は、 中に測度 X∗P で確率分布する。 デルタ関数とその性質 中の標準測度 μ に関する X の密度は、ラドン＝ニコディムの定理より

である。これは、f は次の性質を持つ任意の可測関数であることを意味する。あらゆる可測集合 に対して、

確率とは異なり、確率密度関数は1より大きな値を取ることができる。例えば、区間[0,1⁄2]の連続一様分布の確率密度は範囲0 ≤ x ≤ 1⁄2でf(x) デルタ関数とその性質 = 2、その他の範囲でf(x) = 0である。

である。より一般化すると、離散変数がn通りの実数値を取り得る時、その離散値をx1, …, xn、その確率をp1, デルタ関数とその性質 …, pnとすると確率密度関数は

確率密度関数または確率質量関数を任意の媒介変数でパラメータ化することがしばしばある。例えば、正規分布の密度は平均 μ および分散 σ2を用いて下記のように表現できる。

n個の連続確率変数X1, …, Xnについて、通常結合確率密度関数と呼ばれる確率密度関数を定義することができる。この密度関数はn次元空間の定義域D中のn個の変数X1, デルタ関数とその性質 …, Xnを用いて、下記の様に書く事ができる。

若しF(x1, …, xn) = デルタ関数とその性質 Pr(X1 ≤ x1, …, Xn ≤ デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 xn) がベクトル（X1, …, Xn）の累積分布関数ならば、結合確率密度関数を偏微分で導く事ができる。

i=1, 2, …,nの時、fXi(xi)を変数Xiのみの関数（確率密度関数）とする。これは周辺密度関数と呼ばれ、確率変数X1, …, Xnの確率密度からXi以外のn−1個の変数を重積分する事で求められる。

以下に2変数での基本的な例を記す。2次元の確率ベクトル（X, Y）を とすると、x、yが共に正である第I象限で得られた の確率は

確率変数Xの確率密度関数がfX(x)である時、別変数の確率密度関数Y = g(X)を計算することができる。（多くの場合は必要ないが。）これは「変数変換」と呼ばれ、実際面では既知の（一様分布等）乱数生成器から任意の形のfg(X) = fYを導き出す事ができる。

上記の式は、1つよりも多くの変数に依存する変数（y と書く）に一般化できる。y が依存する変数の確率密度関数を f(x1, デルタ関数とその性質 …, xn) とすると、依存関係は y = g(x1, …, xn) で表される。このとき得られる確率密度関数は[要出典]

となる。ただし積分は添え字の方程式の (n − 1) デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 次元の解全体を渡り、記号 dV は実際の計算にはこの解のパラメータ化に置き換えなければならない。変数 x1, . xn はもちろんこのパラメータ化の関数である。

これからより直感的な表現が導かれる。x を結合密度 f の n 次元確率変数とする。H を全単射で微分可能な関数として y = H(x) であるならば、y は密度 g を持つ：

ここで微分は H の逆関数のヤコビ行列の y における値である。

独立な確率変数Xi, i = 1, 2, …nの確率密度関数がfXi(xi)で与えられる時、Y = G(X1, X2, …Xn)の確率密度関数を計算できる。次の式は、Yの確率密度関数fY(y)とfXi(xi)をデルタ関数で結合するものである。

これは下記に示す独立変数の商の場合と同様に、2通りの変数変換Y=U+VとZ=Vから導かれる。
2つの独立な確率変数UとVがそれぞれ確率密度関数を持つ時、積：Y=UV、商：Y=U/V を変数変換に依って計算することができる。

この手法で U, V を Y, Z に変換する時に不可欠な条件が全単射である。上記の変換は Z が V に直接逆写像され、与えられた V について U/V が単調写像であるので条件に適合している。これは、和：U + V、差：U − V、積：UV においても同様である。

対数関数とは？logの基礎から公式やグラフまで解説！

どうぜ覚えるなら、より発展した、

つまり、 対数で覚えるべき①から④の式は、指数法則で覚えた式に対応 しているのです。

①から④の公式は底が同じでなければ使うことができません。

対数 x = log_aM は「a を何乗するとMになるか、という値をxとする」という意味 でした。

log_a1 = 0 をみると、「数 a を0乗すると1になる」ということ を表していることになりますよね。

a log_a M = M

logaM は「a を何乗するとMになるか」という数 です。

⑦の式を見ると、 a を「a を何乗するとMになるか」乗している のですから、右辺が M になるのは当然のことです。

４．対数関数のグラフの書き方

y = log_aX を、a を底とする x の対数関数 といいます。

対数関数で重要なのは、x の値が増加したときに y の値がどうなるか 、です。これは底 デルタ関数とその性質 a の値によって異なります。

それぞれの定義域と値域にも注意 してください。
下のどちらのグラフも x は負の値にはなっていません ね。 デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質
そして y の値は全ての実数の値をとります。

この 「x は負の値をとらない」ということが、対数の真数条件と対応 しています。

0 < a < 1 のとき、x の値が増加すると、ｙの値は減少する。

５．対数関数の例題

対数の問題を考えるときには、まず底を確認 しましょう。

この問題では底が 1/3 になっています。

よって、 底を1より大きい値に変換 してしまいましょう。
このときに用いるのが、 底の変換公式 です。

ここで、 t = log₃x とおきましょう。
「よく出るものは別の文字に置き換える」と式が見やすくなります。

そして 「置いた文字は定義域に注意」 してください。

という t の範囲が導かれます。すると

t = log₃x とおきましたので、x = 3 t となりますので、答えは以下のようになります。

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「三角関数」の基本的な定理とその有用性を再確認してみませんか（その２）－加法定理、二倍角、三倍角、半角の公式等－ | ニッセイ基礎研究所

「三角関数」の基本的な定理とその有用性を再確認してみませんか（その２）－加法定理、二倍角、三倍角、半角の公式等－

保険研究部 研究理事 中村 亮一

［証明１］単位円周上の2点間の距離の公式と余弦定理を利用する方法
右図のように、単位円周上に、２点、P（cosα、sinα）、Q（cosβ、sinβ）をとる。

距離の公式から、

PQ 2 ＝(cosβ―cosα) 2 ＋ (sinβ―sinα) 2
＝(cos 2 α＋sin 2 α)＋(cos 2 β＋sin 2 β)
―2(cosα・cosβ＋sinα・sinβ)
＝2－2(cosα・cosβ＋sinα・sinβ)

PQ 2 ＝OP 2 ＋OQ 2 －2OP・OQ・cos∠POQ デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質
＝2－2cos(α―β)

［証明２］図形を利用する方法
下図の三角形の面積Sについて、それぞれの図が示す捉え方から、

S＝1／2・b・c sin(α＋β) （右図より）
＝1／2・c sinα・b cosβ＋1／2・c cosα・b sinβ （左図より）
＝1／2・b・c（sinα・ cosβ＋cosα・sinβ）
∴ sin(α＋β)＝sinα・ cosβ＋cosα・sinβ

［証明３］オイラーの公式（Euler's formula）を利用する方法
オイラーの公式 e i θ ＝cosθ＋i sinθ を用いると

e i （α＋β） ＝cos（α＋β）＋i sin（α＋β）

e i （α＋β） ＝ e i α ・e i β
＝（cosα＋i sinα）・（cosβ＋i sinβ）
＝ cosα・cosβ－sinα・sinβ＋i（sinα・cosβ＋cosα・sinβ）
∴ sin(α＋β)＝sinα・cosβ＋cosα・sinβ
cos(α＋β)＝cosα・cosβ－sinα・sinβ

なお、加法定理を発見したのは、ギリシアの天文学者であるプトレマイオス（Claudius Ptolemaeus, 83年頃 - 168年頃）であると言われている。

彼は、「円に内接する四角形ABCDにおいて、AC×BD＝AB×CD＋BC×AD という等式が成り立つ」という「トレミー（Ptolemy）の定理」（プトレマイオスの英語名がトレミー）を発見し、加法定理と本質的に同じ結論を導いている。

〔トレミーの定理の証明〕
右図において、△ABD及び△BCDに余弦定理を適用して

BD 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos∠A=c 2 ＋d 2 －2cd cos∠C

BD 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos∠A=c 2 ＋d 2 ＋2cd cos∠A

（ab＋cd）BD 2 ＝（a 2 ＋b 2 ）cd＋（c 2 ＋d 2 ）ab＝（ad＋bc）（ac＋bd）

（ad＋bc）AC 2 ＝（ab＋cd）（ac＋bd）

（ab＋cd）（ad＋bc）AC 2 ・BD 2 ＝（ab＋cd）（ac＋bd）（ad＋bc）（ac＋bd）

［証明４］トレミーの定理と正弦定理を利用する方法
右図のようなACを直径１とし、∠DAC＝α、∠CAB＝βとなる四角形ABCDを考えると、

AD＝cosα CD＝sinα
AB＝cosβ BC＝sinβ

ここで、これまでの証明では、それぞれの代表的なケースの加法定理を証明している。それ以外のケースについては、後述の（参考）で示している「余角、補角、負角の公式」等の補助公式を利用して証明できることになるので、ここでは省略している。

デルタ関数とその性質

\begin
\oint\bmsv\cdot\rmd\bmsa=\int\left(\dfrac\hbr\right)\cdot(R^2\sin\rmd\theta\rmd\phi\hbr)=\left(\int_0^\pi\sin\rmd\theta\right)\left(\int_0^<2\pi>\rmd\phi\right)=4\pi\tag
\end

図1.44

事の発端は$r=0$の点にある。この点では$\bmsv$は発散しているが、(84)では、これにより意図せず$0$で割り算を行っていることになっている。$\nabla\cdot\bmsv=0$が原点を除いて正しいということは確かだが、原点における場合はより複雑な問題となる。面積分は(85)は半径$R$の値とは関係がないということ、つまり、発散定理が正しければ中心が原点に位置しているようないかなる球でも$\int\nabla\cdot\bmsv\rmd\tau=4\pi$という値を得ることになることに注意せよ。球がどんなに小さくても良いのであるから、明らかに、全体の寄与は$r=0$の点に由来しているものであることになる。故に、$\nabla\cdot\bmsv$は原点という$1$点を除いて$0$となるのにその積分は（積分領域に原点を含んでいれば）$4\pi$という値になるという、奇怪な性質を持つことになる。通常の関数でこのような振る舞いを見せる関数は存在しない。他方で、物理的な例としては、質点の密度（単位体積当たりの質量）などが挙げられる。ここでつまずいてしまっている問題を解決するための関数は、物理学者の間ではDirac のデルタ関数（Dirac delta function）という数学的対象として知られている。これは理論物理学の様々なところで用いられている。更に、今考えているベクトル関数$\hbr/r^2$の発散という問題は不可解な好奇心による問題ではなく、実は、電磁気学の理論において中心となると言っても過言ではないくらい重要な問題である。従って、ここではこのDirac のデルタ関数とそれに関連する事柄について見ておくことにする。

究進塾理系ライター1

大学院で物理学を専攻している大学院生。専門は素粒子理論。 学部1年生の頃から塾講師・家庭教師・オンライン講師の仕事を始め、教える楽しさに目覚める。 現在は究進塾で講師として数学・物理を指導しながら、ライターとして物理・数学・大学院入試に関連した記事を執筆している。

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