投資

コール オプション価格についてのブラック

コール オプション価格についてのブラック
これらの式と から at, bt を消去すると、次の偏微分方程式が得られる。

アメリカンオプションとは:ヨーロピアンオプションとの違い

アメリカンオプションというのはただ単に「2.権利行使の種類による分類」の1つであり、特定のキャッシュフロー(ペイオフ)を指定しているわけではない。したがってアメリカンオプションと言っても様々な種類のものがある本記事では 簡単のためにペイオフは最も基本的・一般的な バニラタイプ(バニラコールまたはバニラプット)を念頭に書いていく (したがって本記事ではアメリカンオプションとはつまりアメリカンバニラオプションのことである)。

「1.原資産の種類による分類」から言えば、アメリカンオプションは株式(エクイティ)オプションに多い
通貨オプションはまれにあるという程度で、為替系はヨーロピアンタイプが多く、一方でバリアの付いたヨーロピアンオプション(バニラオプション)も一般的に取引されている。
金利オプションでアメリカンオプションは無いが、その代わりとしてバミューダンオプションが一般的である。

ヨーロピアンオプションとの価格差

ヨーロピアンオプションとアメリカンオプションの違いは、 権利行使の候補日が1つしかないか、複数あるか である。

権利行使の候補日は、バミューダンオプションの場合は、6カ月ごとに1日や、1年ごとに1日など、定期的に(飛び飛びに)設定されている
これに対して、アメリカンオプションの場合は、権利行使できる期間がいつからいつまで、と具体的に決まっていて、その期間中であればどの営業日でも権利行使できる

コール オプション価格についてのブラック ヨーロピアン<バミューダン<アメリカン

の順に権利行使日の選択肢が多いので、(他の条件が同じなら)一般的には価格も高くなる。例外として、配当のないアメリカンコールオプションは、満期前に権利行使する合理性がないため、ヨーロピアンの場合と価格が同じになる。

価格計算はモンテカルロ法?

キャッシュフローがシンプルなアメリカンオプションに対して、実務上、モンテカルロ法を使うことはあまりない。

アメリカンオプションを価格を計算するうえで、使える 数値計算法 には次のようなものがある。

実務ではPDEによる数値解が最も一般的である。
レガシーな環境では二項ツリーによる数値解が使われていることもあるかもしれない。

アメリカンオプションには、バニラオプションに対するブラックショールズ式のような、厳密な解析解はない。したがって数値解法に頼るしかない。

解析近似解は、数式で解析的に価格が得られるものの、厳密解ではないので誤差を含んでいる。高速に計算できるというメリットはあるものの、 実務で解析近似解を使うことはほとんどない 。数値解にも誤差はあるのだが、誤差をある程度まではコントロール可能ということで、数値解が選ばれることが多い。

ツリーにもいくつかの種類があるが、二項ツリーが使われることが多い。 二項ツリー による数値解は基本的であり、教科書でよく取り上げられているが、数値解が振動しやすく誤差が大きくなりがちである。また、時間方向のグリッドを決めると原資産価格方向のグリッドも強制的に決まってしまい、柔軟にグリッドポイントを置くことができない。実務ではあまり使われないが、教科書によく載っているからということで、 一部のレガシーな環境ではいまだに使われている と思われる。

PDE による数値解はアメリカンオプション以外にも、早期行使権・早期解約権が付いている商品などに幅広く用いられている。満期からバックワードに早期行使するかどうかを判定しながら評価することができ、 アメリカンオプションとの親和性が高い コール オプション価格についてのブラック 。

アメリカンタイプの商品にモンテカルロシミュレーションを用いる方法にはいくつかの選択肢があり、それらを総称して「アメリカンモンテカルロ法」と呼ばれている。しかし実務で使われているのは 最小二乗モンテカルロ法 だけと言っていいだろう。この方法はアメリカンタイプやバミューダンタイプの商品のうち、権利行使時のキャッシュフロー (ペイオフ)が複雑な商品の評価に広く使われている 。本記事で取り上げているアメリカンオプションはペイオフがバニラコールまたはバニラプットのものなので、最小二乗モンテカルロ法を使うには商品性がシンプル過ぎる。アメリカンバニラオプションも含め、シンプルな商品に対して、計算速度の観点から非効率な最小二乗モンテカルロ法を使うことは基本的にないと思っていいだろう。

オプション取引について

ブラックショールズ式は全く関係ない。 (これはオプション料金を決めるための公式。今回は同一行使価格のコールオプションの買いとプットオプションの売りを同時に行うので、このオプション料金は理論上同一価格のはずだから、相殺されてゼロになります。) 説明は実に簡単で、 先物価格と権利行使価格がともに100円として、満期時の価格が80円のケースと120円のケースを考えてみましょう。 コールオプションは、行使価格が満期価格を下回ったときに行使されます。 従って、もし120円に値上がりしていれば、オプションの買い手(あなた)は100円で現物を買い取ることができます。 プットオプションは、行使価格が満期価格を上回ったときに行使されます。 従って、もし80円に値下がりしていれば、オプションの売り手(あなた)は100円で現物を買い取らなければなりません。 結局、満期時の価格(80~120円)に関係なく、あなたは権利行使価格(100円)で現物を買い取ることになります。 これって、100円で先物を買っていたのと、結局同じことです。

質問者からのお礼 2014/08/30 コール オプション価格についてのブラック 16:38

その他の回答 (3)

  • 2014/08/23 15:06 回答No.4

これは他の回答者さんが示しているように満期の合成ペイオフ図を見れば、だいたい理解できると思いますが、それだけでは誤解してしまう可能性があります。 オプションは、満期と行使価格が一緒でも、コールのプレミアム(オプション価格)とプットのプレミアムは異なります。 一緒になることもありますが稀です。 しかし、一般の書籍やインターネット上によくある説明に載っている合成ペイオフ図は簡略のためそれらプレミアムが同じように描かれてしまっています。 コールのプレミアムの理論値とプットのそれが異なるのはブラックショールズ式を見ればすぐに分ることです。 原資産価格をS、行使価格をK、国債などのリスクフリーレートをr、満期までの時間をtとすると、コールプレミアムCとプットプレミアムPはブラックショールズ式(配当無しバージョン)より次のようになります。 C = S・N(d1) - K・N(d2)÷(1+r)^t P = K・N(-d2)÷(1+r)^t - S・N(-d1) d1、d2は、式は省略しますが、S、K、r、tなどから計算される値です。 ここでN( )は正規分布の累積確率密度関数と呼ばれるものです。 これはN(x)+N(-x)=1という性質をもっています。 ^の記号はべき乗を表します。 ご質問のようなコール買い、プット売りは次のような式が成り立ちます。 コール オプション価格についてのブラック C - P = S・N(d1) - K・N(d2)÷(1+r)^t - K・N(-d2)コール オプション価格についてのブラック ÷(1+r)^t + S・N(-d1) = S・N(d1) + S・N(-d1) - K・N(d2)÷(1+r)^t - K・N(-d2)÷(1+r)^t = S・ < N(d1) + N(-d1) >- K・ < N(d2) + N(-d2) >÷(1+r)コール オプション価格についてのブラック コール オプション価格についてのブラック コール オプション価格についてのブラック ^t = S - K ÷(1+r)^t この関係式はプット・コール・パリティと呼ばれるものです。 満期にはt=0となりますから、結局、C - P = S - コール オプション価格についてのブラック K となり、満期のペイオフは行使価格Kで先物の買いをした場合と一緒になります。

  • 2014/08/22 01:47 回答No.3
  • 2014/08/21 19:47 回答No.1

関連するQ&A

オプション取引というものについて 先物のカテゴリで質問させていただいたのですが、回答が得られませんでしたので、こちらで質問させてください。 デリバティブ取引のデの字もよくわからない初心者です。 中でもオプション取引についてお教えください。 オプション取引には下記3通りの決済方法があると聞きました。 (1)権利行使によるオプション取引の売買 (2)反対売買によるオプションの転売 (3)権利の放棄 とくに(2)反対売買がよく理解できていません。 これは、例えば、国債先物のコール・オプションを買い建てたとして、国債先物とコール・オプションの相場がいずれも上昇した場合、買手が、売手に対し、下記いずれか2通りから、利益の高い方を選択できるということでしょうか? (1)権利を行使し、国債の相場上昇分の差額から前渡しのオプション料を控除した額を享受する。 (上昇した国債先物の相場価格-行使価格-前渡ししたオプション料=享受できる利益) (2)反対売買、つまり売手に買い戻させ、オプションの時価と前渡しした金額の差額を享受する。 (上昇したコール・オプションの相場価格-前渡ししたオプション料=享受できる利益) さらに知りたいのは、(2)で売手に対し、買戻しさせるということは、当然にできることなのでしょうか?それとも、オプション取引時、売手と別途契約か特約か何かが必要なのものでしょうか? 何卒、よろしくご教示願います。

(1)プレミアム60円、行使価格900円のプットオプションを2単位買い (2)プレミアム90円、行使価格1200円のプットオプションを1単位売り (3)プレミアム120円、行使価格1500円のコールオプションを1単位買い の組合せでできるポジションの満期時点での損益をExcelで次のように出してみました。 満期日の価格: コール オプション価格についてのブラック コール オプション価格についてのブラック 300 600 900 1200 1500 1800 (1):1080 480 -120 -120 -120 -120 (2):-810 -510 -210 90 90 90 (3):1080 780 480 180 -120 -120 純損益:1350 750 150 150 -150 -150 (※縦列がきれいに揃っていなくて申し訳ありません。) この損益の結果から分かることって何かあるのでしょうか? また、もし計算結果が違いましたら、ご指摘・ご指導をいただきたいです。 回答よろしくお願いします。 (※あまり専門的なことは詳しくないので、難しい言葉はわかりません;;)

オプション取引と要因の関係について、いくつか分からないことがあるので 質問します。 【1】原資産価格が上がると、コールオプションの価値があがる これはコールオプションを行使することで、安く買えるから価値があがる わけですよね。 【2】権利行使価格があがるとコールオプションの価値は下がる 安く買おうとするのがコールオプションなのだから、オプションを使っても 高値でしか権利行使できないのなら、うまみがない。だから、価値が下がる コール オプション価格についてのブラック わけですね? 【3】金利があがるとコールオプションの価値が上がる これがよく分かりません。金利があがるということは、同一期間の価値が 上がるということで、残存期間の価値が上がっているのと同じになる。 だから、コールオプションの価値はあがる、のかな? それとも安く買おう とするのがコールオプションだから、金利があがると競合状態になって、 価値がさがる、ということになるのでしょうか? 金利が上がった場合のプットオプションの価値については、ますます分から ないのですが……。

今、オプション取引の項目を勉強しています。 オプション取引の損益について理解できずに悩んでいます。 コールの買い場合ですと、なぜ利益は無限大なのに、損失はプレミアム分に限定されるのですか?市場価格が低くなればなるほど損失が出るような気がするのですが. その反対がコールの売りになるのですか? プットの買いについては、最大利益は権利行使価格からプレミアム分を引いた分になるのはなぜ?. 参考書にはたくさんの図が書かれているのですが、よく分かりません。どなたかおわかりになる方教えていただけないでしょうか?わたしはオプション取引という言葉はこの試験を受験するまで全く知りませんでした。 よろしくお願いします。

オプションの売りは損失が無限大と言われますが、コールはともかくプット売りの損失は原資産の下落で生じるので限定的ではないのでしょうか。 たとえば権利行使価格7000円のプットのプレミアムは7000円が上限なのでは・・・。 損失無限とはどういう意味なのでしょうか。

今晩は。オプション取引の計算問題を解こうとしていますが、プット・オプションの計算法が解らずに 困っています。オプション取引に詳しい方、御回答をお願いします。問題は以下のとおりです。 ある顧客が,権利行使価格1,000ポイントのTOPIX プット・オプションをプレ ミアム40ポイントで10単位売り建てるとともに,権利行使価格1,050ポイントの同 プット・オプションを60ポイントで10単位買い建てた。 TOPIX のSQ 値が900ポイントになった場合における取引全体での損益はいくらか。 但し、委託手数料,税金は考慮しないものとする。

先物オプション、いくら読んでもよく判らないので教えてください。 先物を買うに当たり、保険として先物プットを買いたいのですが、注文画面を見ると、行使価格を入れる欄があります。 ここに入れるのが、その価格になったら権利を行使する希望価格ってことですか? 次に指し値欄がありますが、此処に入るは、気配値に入っている価格等又は成り行きってことですか?これが保険代金になるのでしょうか? さらに、期限が来てもほっておけば口座から5万円引かれて終わりになるって事ですか?

プットオプションを売却し、当該オプションの権利を行使され、権利行使価格で買い取ることになったとします。 質問1 上記の後、アウト・オブ・ザ・マネーの権利行使価格でコールオプションを売却しなければなりませんが、次の表にある権利行使価格の50又は、150のどちらがアウト・オブ・ザ・マネーなのでしょうか。 △ コールオプション取引表 権利行使価格:プレミアム 50 100 ---中略--- *100 10 ---中略--- 150 1 *…アット・ザ・マネーに一番近い権利行使価格 質問2 カバードオプションを個人が行え、どのような相場でも、儲かりますか? 質問3 カバードオプションの実務や仕組みがわかりやすい本を教えて下さい。 御回答、頂ければ幸いです。

コール オプション価格についてのブラック

F-35NP Col.91
フレームカラー:ブラックマット
レンズカラー:クリアブルースモーク



フォーナインズ・フィールサン サングラス F-35NP Col.91
ブラックマット/クリアブルースモーク

紫外線や眩しさから目をまもるという意味において、サングラスは陽射しを防ぐものと言えるのかもしれません。
けれども、陽の光は本体、私たちの暮らしに欠かせないもの、ここちよいもののはず。
そう考えたとき、フォーナインズはひとつの答えに辿り着きました。
「サングラスの本質は、陽射しを防ぐことではなく、ここちよくすることである。」
歩きなれた散歩道も、大好きなドライブやショッピングも、待ちに待った旅行も…。
太陽の下で過ごす多くの時間を、より心が弾むものにする。
それが「陽射しを、ここちよく」をコンセプトにする、フォーナインズのサングラスライン「999'9 feelsun(フォーナインズ・フィールサン)」です。
目を保護する機能、ファッションの幅を広げるデザインはもちろん、毎日でも掛けることができる、快適な掛け心地を追求して。
陽の光の本質を心ゆくまで味わえるように、サングラスを身に着ける楽しさ、そして気持ちよさを表現しました。
すべては、ここちよい陽の光と、素敵な毎日を送っていただくために。

もっと快適に、もっと身近に ~サングラスの新たな価値

形の上ではすっかり定着したサングラス。それを日常の中で本当に使っていただけるものにしたい。だからフォーナインズはサングラスライン、999'9 feelsunを立ち上げました。その昔、視力矯正のために「掛けなくてはいけないもの」だった眼鏡は「自ら選んで掛けるもの」に変わってきています。機能性やデザイン、掛け心地の向上…。本質を的確に捉えたクオリティがあれば、そのものの価値も正しく受け入れていただける。そして、サングラスも例外ではない。フォーナインズは、そう考えています。サングラスをもっと快適に、もっと身近に。そして誰もが日常的に使用できるものへ。999'9 feelsunは、サングラスの新たな価値を創造します。

度付きレンズへの対応力

999'9 コール オプション価格についてのブラック feelsunのサングラスは、より多くの方々にお使いいただけるように、企画段階から度付きレンズの使用を視野に入れたフレーム設計がなされています。求めたのはサングラスにおける度付きレンズへの対応力。フロントの立体的なカーブ設計により、フレームとレンズとの最良のバランスを追求しました。サングラスのスタイルを崩すことなく、度付きでも快適にお使いいただけます。コーティングやカラーなど、紫外線や眩しさから目を保護する機能にとどまらず、レンズの許容範囲を拡げ、より多くの方々に陽射しをこころよく感じていただきたいと考えています。



フォーナインズオプション偏光レンズカラーバリエーション
※レンズカラーで価格には変わりございません。価格は2枚1組・税込価格となります。
度なしオプションレンズ価格:14,300(2枚1組・税込)


フォーナインズフィールサン度無しオプションレンズについて
フィールサン専用偏光レンズをオプションとしてご選択いただけます。
専用レンズとしてカットされた状態で納品されますので、他モデルへの流用などは出来かねます。
レンズは一律\13,650(税込)となります。オプションレンズには999'9 feelsunロゴが左レンズに入ります。
本体との同時購入の場合は上記価格を加算した価格となります。

スモークグラデーション グリーンスモークグラデーション ライトブラウングラデーション
ダークブラウングラデーション ブルースモークグラデーション パープルスモークグラデーション


999'9 feelsun LENS(フォーナインズ・フィールサン度付きレンズ)

999'9 feelsun LENSはNIKON(ニコン)と共同開発した度付きレンズです。
※原則元々入っているレンズカラーと同色での度付き対応となります。

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"フォーナインズのフレーム設計に合わせた専用レンズ"
FOUR NINES LENS 度付きレンズ価格表

「Four Nines LENS」はフォーナインズフレームの設計に対し、最適な表面カーブで設計されています。
フレームとレンズの相性が非常に優れ、レンズにかかる負荷を抑えて歪みを防ぎます。
それにより、レンズが持つ光学性能を最大限に発揮することが出来、フレームの持つシルエットを崩しません。

最高純度のクオリティを持つフォーナインズフレームに、最適なレンズを組み合わせて、
本当のここちよさを持つメガネをお届けしたい。
その想いを込めたレンズが「Four Nines LENS」です。

フィールサン専用度付きレンズの価格表です。
専用レンズとして999'9 feelsunロゴは入りませんが、隠しマークに専用マークが入ります。
本体との同時購入の場合は上記価格を加算した価格となります。
フォーナインズフレームの設計に合わせたカーブで最適な加工を行います。

両面非球面設計のレンズは全方位収差補正を行ったレンズです。
カスタムメイド両面非球面レンズはソリ角・前傾角・頂点間距離まで考慮し、
両面非球面レンズをそのフレームに合わせたあなただけの設計で作成します。

品名 1.60薄型レンズ・価格(5カーブ/3カーブ) 1.67超薄型レンズ(5カーブ/3カーブ)
屈折率 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
マルチコート
(撥水・反射防止)
\25,300 \39,600 \59,400 ------ \42,900 \62,700
ミラーコート(シルバー/ブルー)
(表面ミラー・撥水・裏面反射防止)
\25,300 \39,600 \59,400 ------ \42,900 \62,700
ハードコート
(表ハード・・撥水・裏面反射防止)
\25,300 \39,600 \59,400 ------ \42,900 \62,700
オプション・高精度ソリ角補正
(3カーブ1.60スタンダードレンズにはソリ角補正はつきません)
------ \3,300 \3,300 ------ \3,300 \3,300

999'9 feelsun LENS SCOLOR(フォーナインズ・フィールサン エスカラー度付きレンズ)

999'9 feelsun SCOLORはアクティブなシーンに合わせて新しい提案をする
999'9とNIKON(ニコン)が共同開発したスペシャルカラー度付きレンズです。
■ドライブ用カラー:ドライブグレイ/ドライブブラウン
■アクティブシーン用カラー:ストレートグレイ/マリーゴールド/エメラルドグリーン

品名 1.60薄型レンズ・価格(5カーブ/3カーブ) 1.67超薄型レンズ(5カーブ/3カーブ)
屈折率 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
価格
(どのカラーでも価格に変わりございません)
\35,200 \46,200 \62,700 ------ \49,500 \66,000
オプション・高精度ソリ角補正
(3カーブ1.60スタンダードレンズにはソリ角補正はつきません)
------ \3,300 \3,300 ------ \3,300 \3,300


フォーナインズフィールサン遠近両用度付きレンズ価格表

フィールサン専用度付きレンズの価格表です。
専用レンズとして999'9 feelsunロゴは入りませんが、隠しマークに専用マークが入ります。
本体との同時購入の場合は上記価格を加算した価格となります。
フォーナインズフレームの設計に合わせたカーブで最適な加工を行います。

内面累進設計のレンズは内面に累進帯を持たせることで視線の移し方に合わせた補正を行ったレンズです。
両面累進設計のレンズはレンズの表面・裏面において各々最適な補正を行ったレンズです。
可変インセット両面累進設計のレンズはさらに遠方と近方において最適な見え方を提供出来るように最適な補正を行ったレンズです。


999'9 feelsun LENS(コール オプション価格についてのブラック フォーナインズ・フィールサン 遠近両用度付きレンズ)

999'9 feelsun LENSはNIKON(ニコン)と共同開発した度付きレンズです。
※原則元々入っているレンズカラーと同色での度付き対応となります。

品名 1.60薄型レンズ・価格(5カーブ/3カーブ) コール オプション価格についてのブラック 1.67超薄型レンズ(5カーブ/3カーブ) 屈折率 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面 コール オプション価格についてのブラック マルチコート
(撥水・反射防止) \44,000 \59,400 \80,300 ------ \62,700 コール オプション価格についてのブラック \83,600 ミラーコート(シルバー/ブルー)
(表面ミラー・撥水・裏面反射防止) \44,000 \59,400 \80,コール オプション価格についてのブラック コール オプション価格についてのブラック 300 ------ \62,700 \83,600 ハードコート
(表ハード・・撥水・裏面反射防止) \44,000 \59,400 \80,300 ------ \62,700 \83,600 オプション・高精度ソリ角補正
(3カーブ1.60スタンダードレンズにはソリ角補正はつきません) ------ \3,300 \3,300 ------ \3,300 \3,300
999'9 feelsun LENS SCOLOR(フォーナインズ・フィールサン エスカラー遠近両用度付きレンズ)

999'9 feelsun SCOLORはアクティブなシーンに合わせて新しい提案をする
999'9とNIKON(ニコン)が共同開発したスペシャルカラー度付きレンズです。
■ドライブ用カラー:ドライブグレイ/ドライブブラウン
■アクティブシーン用カラー:ストレートグレイ/マリーゴールド/エメラルドグリーン

ブラック-ショールズ方程式 ブラック-ショールズ方程式の概要

さらに、0 ≤ tT で発展的可測(英: progressively measurable )な確率過程の組 (at(ω), bt(ω)) を取る。att 時点で状態が ω の場合の株式の保有量、bt(ω) は同債券の保有量である。このような組 (a, b) を、株式と債券の取引戦略という。区間 [0, T] コール オプション価格についてのブラック における取引戦略 (a, b) が自己資本充足的(英: self-financing )であるとは、0 ≤ tT の各時点 t に対し、次の式が満たされることである。

コール オプション価格についてのブラック

ブラック-ショールズ方程式

ブラック-ショールズ方程式の導出

ブラック-ショールズモデルの下で、満期 T において行使価格が K であるヨーロッパピアン・コールのオプションプレミアム C = C(St, t) が無裁定となるように適正な価格となる条件を求める。区間 [0, T] で自己資本充足的な取引戦略 (a, b) を、各 t 時点で次のように定める。これを複製ポートフォリオ (replicating portfolio) という。

これらの式と から at, bt を消去すると、次の偏微分方程式が得られる。

この偏微分方程式をブラック-ショールズ方程式(英: Black-Scholes equation )、またはブラック-ショールズ偏微分方程式(英: Black-Scholes partial differential equation )と言う。この方程式の境界条件は以下の3つである。

ブラック-ショールズ方程式の解

これが「適正価格」と呼ばれる背景としては、上述のとおり株と債券を使ってヨーロピアン・コールオプションを複製することができるという事実から来ている。もし、コールオプション価格と複製ポートフォリオの組成費用が異なれば、無限に資金を増やすことが可能になる コール オプション価格についてのブラック [9] 。それは非現実的であるのでコールオプション価格と複製ポートフォリオの組成費用は、理論的には、一致しなくてはならないのである。またここでは St は株価であるとしたが、実際は株式だけに限らず、為替レートや投資信託、株価指数などの市場性のある投資商品や指標であれば全て上述の議論が成立する。

配当込みのブラック-ショールズ方程式

もし株式に配当が含まれたとしても、ブラック-ショールズ方程式は細部の変更のみで成立する。ここで St で表される株式には配当が存在し、その配当は連続的に支払われるものとする。単位時間当たりの配当利回りを q とする。この時、株価の従う確率微分方程式は

である。この配当込みのブラック-ショールズ方程式は通貨オプションについても重要な意味を持つ。自国とある外国の間の(自国通貨建て)為替レートを Qt として、Qt が以下の確率微分方程式に従うとする。

γ は定数であるとする。また自国債券価格を Bt 、外国債券価格を B f t として、それぞれ

と表されるとする。ただし、rrf はそれぞれ自国の金利と外国の金利を表し、共に定数であるとする。ここで自国通貨建て通貨オプションを自国債券と外国債券からなる自己資金充足的なポートフォリオで複製することを考える。つまり

である自己資金充足的なポートフォリオ (a, b) を考える [12] 。すると、前節と同様の議論から無裁定ならば次の偏微分方程式が成立しなくてはならない。

プットコールパリティ

ただし、P はプットオプションの現在価格である。つまり、原資産の価格変動が幾何ブラウン運動で、債券利子率が一定ならば、どのようなデリバティブについても偏微分方程式の形は同じとなる。異なるのは境界条件で、プットオプションの場合の境界条件は

となる。つまり0時点において株式を1単位買い、債券を Ke -rT / B0 単位空売りし、満期までそれを保有し続けるポートフォリオの価値額と常に一致する。この関係をプットコールパリティ(英: put-call parity )と言う [14] 。より一般的には、T 期を満期とした額面が1円の債券の t 時点での価格がB ( t, T ) = e -r ( T-t ) で表されることから

となる。このポートフォリオでの満期でのペイオフは同一残存期間の先渡価格 K の先渡契約の満期でのペイオフと同じである。よって満期を T とする t 時点で締結された先渡契約の先渡価格を F ( t, T ) とすると、無裁定条件から

グリークス(The Greeks)

ブラック-ショールズ方程式によるオプション価格を決定するのは株価、満期までの残存期間もしくは経過時間、行使価格、金利、ボラティリティの5つとなる。よってオプション価格をこの5つの変数の関数と見なし、それぞれの偏微分を持って各変数についてのオプション価格の感応度として表したものをグリークス(英: The Greeks )と言う [15] 。代表的なものとして、株価についての1階偏微分をデルタ(英: delta )、2階偏微分をガンマ(英: gamma )、経過時間の1階偏微分をセータ(英: theta )、金利の1階偏微分をロー(英: コール オプション価格についてのブラック コール オプション価格についてのブラック rho )、ボラティリティの1階偏微分をベガ(英: vega )またはカッパ(英: kappa )と言う。それぞれの配当無しヨーロピアンコールオプションにおける具体形は以下の通りとなる。ただし記号等は前節のものと同じである。

ブラック-ショールズモデルにおけるコールオプション価値。call option's value long before expiry dateで示される曲線が満期までの期間が比較的長いヨーロピアンコールオプション価値でcall option's value before expiry dateで示される曲線が満期までの期間が比較的短いヨーロピアンコールオプション価値である。call option's payoff at expiry dateは満期時点でのペイオフを表している。オプション価値は右上がりの凸状の曲線であり、時間経過にしたがって下方に異動し、満期時点でのペイオフに近づいていくことが分かる。

インプライド・ボラティリティ

ブラック-ショールズ方程式によるオプション価格において、株価、満期までの残存期間、行使価格、金利は全て市場で観測可能であるが、ボラティリティのみが直接観測不可能で何らかの方法で推定しなくてはならない。そこでブラック-ショールズ方程式による理論上のオプション価格が現実価格と等しいと仮定して実際のオプションの市場価格から逆算されたボラティリティのことをインプライド・ボラティリティ(英: implied コール オプション価格についてのブラック volatility )と言う。ブラック-ショールズ方程式が正しければ、あらゆる水準の株価、満期までの残存期間、行使価格、金利においてインプライド・ボラティリティは等しいはずだが、実際に計算されるインプライド・ボラティリティはそうではないことが知られている。

実務への応用

米系投資銀行ソロモンブラザーズ(現シティグループ)は、1980年代には既に金融商品のプライシングに応用していた [ 要出典 ] 。オプションの理論価格算定方式が数学上非常に明晰な形で提供されたことはSPAN証拠金(1988年にシカゴ・マーカンタイル取引所が開発したリスクベースの証拠金計算方法)に決定的な示唆を与えている。

オプション価格の理論値が得られることから、適正プレミアムの獲得や現実の取引価格との乖離が投資戦略として裁定取引上の利益目標となり得ると考えられた。この点、実際にはテイルリスク [16] に対する脆弱性などが指摘されている。そしてロングターム・キャピタル・マネジメント破綻 [17] により現実的妥当性まで疑問視された。しかし、投資中に発生するイベントの定性情報 [18] を無視したポートフォリオ戦略 [19] としては依然として強力であり、それまでアナロジーやアフォリズム、アノマリーやテクニカル分析などといった従来の「投資の慣行」を超えた学術的バックグラウンドを持つものとして、現代ポートフォリオ理論や資本資産価格モデルなどと同様に大きな影響をもたらしている。

  1. ^ コール オプション価格についてのブラック コール オプション価格についてのブラック 満期日のみ行使可能なオプション。
  2. ^ コール・オプションとプット・オプションの両方について。オプション取引参照。
  3. ^ 購入日から満期日までのいつでも権利行使することのできるオプション。その分、アメリカンプットオプションのプレミアムは割高になっている。 行使日が分からないため価格付けが難しい(※)。良い計算方法が理論化できていない。しかし格子モデルや ブレネン-シヴァルツアルゴリズムなどがよく用いられている (※) S.M.ロス; 西村優子, 高見茂雄, 西村陽一郎訳 『ファイナンス~PVとオプション~』 同友館、 2002年 。ISBN9784496034749。
  4. ^Shreve (2004), section 8.5
  5. ^Black and Scholes (1973)
  6. ^Merton (1973)コール オプション価格についてのブラック
  7. ^ 株価の変動の激しさ
  8. ^ 株価の平均増加率
  9. ^無裁定価格理論の項目を参照。
  10. ^ よって はトータルリターンを表している
  11. ^Shreve (2004), pp. 237-238
  12. ^C は自国通貨単位での価値額である。
  13. ^Shreve (2004), p. 164
  14. ^Shreve (2004), p. 163
  15. ^Shreve (2004), p. 159
  16. ^ 過去に無い相場に遭遇したり、とりわけ統計的に検定除外されてしまうほどめったに発生しない局面でのリスク
  17. コール オプション価格についてのブラック
  18. ^ このヘッジファンドは4年(1994-1998)で破綻した。資金の集中した時期から、ここへマイロン・ショールズも参加していた。また、資金運用にブラック-ショールズ方程式が活用されていた。ファンドの破綻した大きなきっかけは1998年のロシア財政危機であった。この規模の恐慌は方程式によると希であるはずだったが、実際それほど希ではない。
  19. ^ 文章や画像、音声といった、数値化のむずかしい情報。対義語は定量情報。
  20. ^ 将来何が起きるかは知りえないことを前提とした投資戦略
  21. ^Heston (1993)
  22. ^Merton (1976)
  23. ^簿外債務の原因となりうる市場外取引その他。山一証券を参照。
  24. ^年金積立金管理運用独立行政法人の資産運用法を参照。

ブラック–ショールズ方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/08/05 15:13 UTC 版)

ブラック–ショールズ方程式(ブラック–ショールズほうていしき、英: Black–Scholes equation )とは、デリバティブの価格づけに現れる偏微分方程式(およびその境界値問題)のことである。様々なデリバティブに応用できるが、特にオプションに対しての適用が著名である。ブラック-ショールズ方程式はヨーロピアンオプション [注 1] のオプション・プレミアム [注 2] の値を解析的に計算できるが、アメリカンタイプのプット・オプション [注 3] については(解析的には)計算できない。ただし、ブラック-ショールズモデルにおけるアメリカンコールオプションの理論価格はヨーロピアンコールオプションの理論価格と一致する [2] 。

コール オプション価格についてのブラック

F-35NP Col.91
フレームカラー:ブラックマット
レンズカラー:クリアブルースモーク



フォーナインズ・フィールサン サングラス F-35NP Col.91
ブラックマット/クリアブルースモーク

紫外線や眩しさから目をまもるという意味において、サングラスは陽射しを防ぐものと言えるのかもしれません。
けれども、陽の光は本体、私たちの暮らしに欠かせないもの、ここちよいもののはず。
そう考えたとき、フォーナインズはひとつの答えに辿り着きました。
「サングラスの本質は、陽射しを防ぐことではなく、ここちよくすることである。」
歩きなれた散歩道も、大好きなドライブやショッピングも、待ちに待った旅行も…。
太陽の下で過ごす多くの時間を、より心が弾むものにする。
それが「陽射しを、ここちよく」をコンセプトにする、フォーナインズのサングラスライン「999'9 feelsun(フォーナインズ・フィールサン)」です。
目を保護する機能、ファッションの幅を広げるデザインはもちろん、毎日でも掛けることができる、快適な掛け心地を追求して。
陽の光の本質を心ゆくまで味わえるように、サングラスを身に着ける楽しさ、そして気持ちよさを表現しました。
すべては、ここちよい陽の光と、素敵な毎日を送っていただくために。

もっと快適に、もっと身近に ~サングラスの新たな価値

形の上ではすっかり定着したサングラス。それを日常の中で本当に使っていただけるものにしたい。だからフォーナインズはサングラスライン、999'コール オプション価格についてのブラック 9 feelsunを立ち上げました。その昔、視力矯正のために「掛けなくてはいけないもの」だった眼鏡は「自ら選んで掛けるもの」に変わってきています。機能性やデザイン、掛け心地の向上…。本質を的確に捉えたクオリティがあれば、そのものの価値も正しく受け入れていただける。そして、サングラスも例外ではない。フォーナインズは、そう考えています。サングラスをもっと快適に、もっと身近に。そして誰もが日常的に使用できるものへ。999'9 feelsunは、サングラスの新たな価値を創造します。

度付きレンズへの対応力

コール オプション価格についてのブラック
999'9 feelsunのサングラスは、より多くの方々にお使いいただけるように、企画段階から度付きレンズの使用を視野に入れたフレーム設計がなされています。求めたのはサングラスにおける度付きレンズへの対応力。フロントの立体的なカーブ設計により、フレームとレンズとの最良のバランスを追求しました。サングラスのスタイルを崩すことなく、度付きでも快適にお使いいただけます。コーティングやカラーなど、紫外線や眩しさから目を保護する機能にとどまらず、レンズの許容範囲を拡げ、より多くの方々に陽射しをこころよく感じていただきたいと考えています。



フォーナインズオプション偏光レンズカラーバリエーション
※レンズカラーで価格には変わりございません。価格は2枚1組・税込価格となります。
度なしオプションレンズ価格:14,300(2枚1組・税込)


フォーナインズフィールサン度無しオプションレンズについて
フィールサン専用偏光レンズをオプションとしてご選択いただけます。
専用レンズとしてカットされた状態で納品されますので、他モデルへの流用などは出来かねます。
レンズは一律\13,650(税込)となります。オプションレンズには999'9 feelsunロゴが左レンズに入ります。
本体との同時購入の場合は上記価格を加算した価格となります。

スモークグラデーション グリーンスモークグラデーション ライトブラウングラデーション
ダークブラウングラデーション ブルースモークグラデーション パープルスモークグラデーション


999'9 feelsun LENS(フォーナインズ・フィールサン度付きレンズ)

999'9 feelsun LENSはNIKON(ニコン)と共同開発した度付きレンズです。
※原則元々入っているレンズカラーと同色での度付き対応となります。


"フォーナインズのフレーム設計に合わせた専用レンズ" コール オプション価格についてのブラック
FOUR NINES LENS 度付きレンズ価格表

「Four Nines LENS」はフォーナインズフレームの設計に対し、最適な表面カーブで設計されています。
フレームとレンズの相性が非常に優れ、レンズにかかる負荷を抑えて歪みを防ぎます。
それにより、レンズが持つ光学性能を最大限に発揮することが出来、フレームの持つシルエットを崩しません。

最高純度のクオリティを持つフォーナインズフレームに、最適なレンズを組み合わせて、
本当のここちよさを持つメガネをお届けしたい。
その想いを込めたレンズが「Four Nines LENS」です。

フィールサン専用度付きレンズの価格表です。
専用レンズとして999'9 feelsunロゴは入りませんが、隠しマークに専用マークが入ります。
本体との同時購入の場合は上記価格を加算した価格となります。
フォーナインズフレームの設計に合わせたカーブで最適な加工を行います。

両面非球面設計のレンズは全方位収差補正を行ったレンズです。
カスタムメイド両面非球面レンズはソリ角・前傾角・頂点間距離まで考慮し、
両面非球面レンズをそのフレームに合わせたあなただけの設計で作成します。

品名 1.60薄型レンズ・価格(5カーブ/3カーブ) 1.67超薄型レンズ(5カーブ/3カーブ)
屈折率 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
マルチコート
(撥水・反射防止)
\25,300 \39,600 \59,400 ------ \42,900 \62,700
ミラーコート(コール オプション価格についてのブラック シルバー/ブルー)
(表面ミラー・撥水・裏面反射防止)
\25,300 \39,600 \59,400 ------ \42,900 \62,700
ハードコート
(表ハード・・撥水・裏面反射防止)
\25,300 \39,600 \59,400 ------ \42,900 \62,700
オプション・高精度ソリ角補正
(3カーブ1.60スタンダードレンズにはソリ角補正はつきません)
------ \3,300 \3,300 ------ \3,300 \3,300

999'9 feelsun LENS SCOLOR(フォーナインズ・フィールサン エスカラー度付きレンズ)

999'9 feelsun SCOLORはアクティブなシーンに合わせて新しい提案をする
999'9とNIKON(ニコン)が共同開発したスペシャルカラー度付きレンズです。
■ドライブ用カラー:ドライブグレイ/ドライブブラウン
■アクティブシーン用カラー:ストレートグレイ/マリーゴールド/エメラルドグリーン

品名 1.60薄型レンズ・価格(5カーブ/3カーブ) 1.67超薄型レンズ(5カーブ/3カーブ)
屈折率 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面
価格
(どのカラーでも価格に変わりございません)
\35,コール オプション価格についてのブラック 200 \46,200 \62,700 ------ \49,500 \66,000
オプション・高精度ソリ角補正
(3カーブ1.60スタンダードレンズにはソリ角補正はつきません)
------ \3,300 \3,300 ------ \3,300 \3,300


フォーナインズフィールサン遠近両用度付きレンズ価格表

フィールサン専用度付きレンズの価格表です。
専用レンズとして999'9 feelsunロゴは入りませんが、隠しマークに専用マークが入ります。
本体との同時購入の場合は上記価格を加算した価格となります。
フォーナインズフレームの設計に合わせたカーブで最適な加工を行います。

内面累進設計のレンズは内面に累進帯を持たせることで視線の移し方に合わせた補正を行ったレンズです。
両面累進設計のレンズはレンズの表面・裏面において各々最適な補正を行ったレンズです。
可変インセット両面累進設計のレンズはさらに遠方と近方において最適な見え方を提供出来るように最適な補正を行ったレンズです。


999'9 feelsun LENS(フォーナインズ・フィールサン 遠近両用度付きレンズ)

999'9 feelsun LENSはNIKON(ニコン)と共同開発した度付きレンズです。
※原則元々入っているレンズカラーと同色での度付き対応となります。

品名 1.60薄型レンズ・価格(5カーブ/3カーブ) 1.コール オプション価格についてのブラック 67超薄型レンズ(5カーブ/3カーブ) 屈折率 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面 スタンダード 両面非球面 カスタムメイド
両面非球面 コール オプション価格についてのブラック マルチコート
(撥水・反射防止) \44,000 \59,400 \80,300 ------ \62,700 \83,600 ミラーコート(シルバー/ブルー)
(表面ミラー・撥水・裏面反射防止) \44,000 \59,400 \80,300 ------ コール オプション価格についてのブラック コール オプション価格についてのブラック \62,700 \83,600 ハードコート
(表ハード・・撥水・裏面反射防止) \44,000 \59,コール オプション価格についてのブラック 400 \80,300 ------ \62,700 \83,600 オプション・高精度ソリ角補正
(3カーブ1.60スタンダードレンズにはソリ角補正はつきません) ------ \3,300 \3,300 ------ \3,300 \3,300
999'9 feelsun LENS SCOLOR(フォーナインズ・フィールサン エスカラー遠近両用度付きレンズ)

999'9 feelsun SCOLORはアクティブなシーンに合わせて新しい提案をする
999'9とNIKON(ニコン)が共同開発したスペシャルカラー度付きレンズです。
■ドライブ用カラー:ドライブグレイ/ドライブブラウン
■アクティブシーン用カラー:ストレートグレイ/マリーゴールド/エメラルドグリーン

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