解析学基礎/関数
f ( g ( x ) ) = 3 デルタ関数とその性質 x 2 + 2 ≠ 9 x 2 + 12 x + 4 = ( 3 x + 2 ) 2 = g ( 3 x + 2 ) = g ( f ( x ) ) +2\neq 9x^+12x+4=(3x+2)^=g(3x+2)=g(f(デルタ関数とその性質 x))> .
定義域と値域 編集
区間の表記法 編集
区間 (interval) デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 の表記法は実に単純です。しかし、ちょっとした違いで意味が変わってきますので、括弧の形をよく見てください。
| 意味 | 区間の表記 | 集合としての表記 |
| 全ての値は a 以上 b 以下 | [ a , b ] | < x : a ≤ x ≤ b >> |
| 全ての値は a より大きく b より小さい | ( a , b ) | < x : a < x < b >> |
| 全ての値は a 以上で b より小さい | [ a , b ) | < x : a ≤ x < b >> |
| 全ての値は a より大きく b 以下 | ( a , b ] | < x : a < x ≤ b >> |
| 全ての値は a 以上 | [ a , ∞ ) | < x : x ≥ a >> | デルタ関数とその性質
| 全ての値は a より大きい | ( a , ∞ ) | < x : x >a > a\right\>> |
| 全ての値は a 以下 | ( − ∞ , a ] | < x : x ≤ a >> |
| 全ての値は a より小さい | ( − ∞ , デルタ関数とその性質 a ) | < x : x < a >> |
| 全ての実数 | ( − ∞ , ∞ ) | < x : x ∈ R > \right\>> |
定義域 編集
関数の定義域 (domain) とは、関数が定義されている全ての点の集合のことです。
値域 編集
関数の値域 (range) とは、関数が取る全ての値の集合の事です。例えば
逆関数 編集
g ( f ( x ) ) = f ( g ( x ) ) = x
関数のグラフ 編集
連続性 編集
殆どの関数のグラフは、点がばらばらに孤立して描かれることは無く、一つか或いはそれ以上の「線」の集まりで成り立っています。一つ一つの「線」を描くとき、鉛筆を紙から離さずに描くことができ、「線」の途中でいきなり遠くの点に飛ぶということもありません。この「鉛筆を紙から離さずに描ける」ということが連続性 (continuity) なのですが、これについてはまた後程、厳密に定義します。
この節の目的 編集
この節では、四則演算を用いた関数の操作をしてみます。このような操作は、代数学という分野で詳しく研究されています。
演算規則 編集 デルタ関数とその性質
- 加法（足し算）
- 交換法則: a + b = b デルタ関数とその性質 + a
- 結合法則: ( ( a + b ) + c ) = ( a + ( b + c ) )
- 単位元の存在: a + 0 = a
- 逆元の存在: a + ( − a ) = 0
- 減法（引き算）
- 定義: a − b = a + ( − b )
- 乗法（掛け算）
- 交換法則: デルタ関数とその性質 a × b = b × a デルタ関数とその性質
- 結合法則: ( a × b ) × c = a × ( b × c )
- 単位元の存在: a × 1 = a
- 逆元の存在: a × 1 a = 1 >=1>
- 分配法則: a × ( b + c ) = a × b + a × c
- 除法（割り算）
- 定義: a b = a × 1 b >=a\times >>
これらの法則は、任意のa,b,cに対して成り立ちます。a,b,cは具体的な数でなくとも、変数でも、関数でも、他の表現でも構いません。
( x + 2 ) ( デルタ関数とその性質 x + 3 ) x + 3 >> = ( ( ( x + 2 ) × ( x + 3 ) ) × ( 1 x デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 + 3 ) ) >))> = ( ( x + 2 ) × ( ( x + 3 ) × ( 1 x + 3 ) ) >))> = ( ( x + 2 ) × ( 1 ) ) = x + 2 このように長い式を、分子と分母に共通にある(x+3)で約分して簡略化することができます。表現が長くて分かりにくい関数も、このような操作によって簡略化し分かりやすくできる場合が沢山あります。
伝達関数ってなに？
制御工学（制御理論）とは、入力と出力の関係を表す「伝達関数」と呼ばれる関数を用いて、その入出力システムの挙動や安定性を評価するものです。伝達関数は F(s) というように 複素数 s の関数で表されます。
私たちが「入出力の関係を表す関数」といって直感的に理解しやすいのは、y(t) = f(t) × x(t) というような時間 t の関数です。
しかし伝達関数が扱う”領域”は、”時間領域”ではなく”s領域”なのです。それでは何故、”時間領域”ではなく分かりにくい”s領域”で計算しなければならないのでしょうか？
制御理論について書いてある本ならたいていその理由は説明されているはずなのですが、分かりやすく書かれている本があまり見当たらないように思います。
そこでこのページでは、あるシステムの入出力関係の式を求めるのに何故わざわざ”s領域”で計算を行う必要があるのかについて説明したいと思います。1. 入力と出力の関係を表す関数について考える
入力と出力の関係を表す関数を求めるとき、その関数は任意の入力に対して出力が求められることが要求されます。
つまり「どのような入力に対しても、その関数を用いれば出力が求まる」というような一般式を求める必要があります。
なぜなら、入力の種類ごとに関数の求め方が異なるようでは非常に面倒です。 デルタ関数とその性質
また、あらゆる分野において言えることですが、数式は一般化されることにより色々と有効な解析を行うことが可能になります。
図1. 抵抗とコンデンサで構成された回路
この回路に 図2 (a) のようなsin波の電圧を入力したとき、出力の電圧は同図 (b) のように入力に対して「遅れ」を持ち、また同時に入力に比べて振幅が減衰して出力されます。
図2. 入出力特性 （sin波）
一方、図1の回路に図3 (a) のようなステップ状の波形を入力したときは、同図 (b) のようになまった波形が出力されます。
図3. 入出力特性 （ステップ状の入力波形）
図1はローパス回路と呼ばれるもので、上で述べたような特性を持ちます。
さて、問題です。
図1の回路の入出力の関係を表す一般式は、どのようにして求めることが出来るのでしょうか？
この二つの特性を同時に満たす関数 f(t) を求めてみることにしましょう。図2の特性は入力を A1・sin(w・t) とすると出力は A2・sin というようになります。
出力 y(t)、入力 x(t) としたとき、入出力の関係を y(t) = f(t) × x(t) と表したとしたら f(t) は以下のようになります。f(t) = y(t) / x(t) = B・sin / A・sin(w・t)デルタ関数とその性質
しかし、この関数を使って 図3 の特性は出てきません。
さて、それではどのような求め方をすれば任意の入力に対する一般式を導き出すことが出来るのでしょうか？
結論から言うと下の図4 (a) に示す入力に対する出力を求めることができればよいのです。
図4 (a) はデルタ関数と呼ばれ、t=0 で ∞ 、それ以外で 0 となる関数で、なおかつ積分値が 1 となります。
積分値が 1 となるということは、面積が デルタ関数とその性質 1 となるということです。
この関数は直感的には分かりづらいものですが、次のように考えると理解しやすいです。
図4 (b) のように、幅 dt と高さ 1/dt を持つ関数があるとします。この関数の積分値、つまり面積は dt×(1/dt) = 1 です。
デルタ関数は、この図(b)の dt を極限まで小さくした関数と考えてください。たとえば、図5 (a) に示すように入出力システム G があり、この G に先ほどのデルタ関数の波形を入力したときの出力が同図(デルタ関数とその性質 b)のような波形だったとします。（この応答をインパルス応答と言います。）
図5. 入出力システムとインパルス応答
このとき制御理論では、任意の入力に対して得られる出力を次のように考えます。
入力と出力を持つあるシステムに、下の図6 (a) のような入力波形が入るとします。
ここでこの入力波形を同図 (b) のように幅の狭いパルスの集まりだと考えます。（非常に幅の狭いパルスだと考えてください。）
図6. ある入力波形 デルタ関数とその性質 x(t)
そして、この幅の狭いそれぞれのパルスに対するインパルス応答の合計が出力波形となるのです。
図7 (a) は入力ですが、たとえば同図 (b) のように デルタ関数とその性質 t = τ1 のときのパルスに対する応答について考えてみます。
（パルスの幅 ⊿τ は十分に小さいものとします。）
図7. 各τにおけるインパルス応答
図5 (b) はインパルス応答ですが、このときの入力はデルタ関数です。
デルタ関数は積分値（面積）が 1 ですが、図7 (b) の場合は x(τ1)×⊿τ の面積を持ちます。
そのため時間 t における応答は g(t - τ1) × デルタ関数とその性質 x(τ1)×⊿τ と表されます。
また t = τ2 のときも同様に、応答は デルタ関数とその性質 g(t - τ2) × x(τ2)×⊿τ デルタ関数とその性質 と表されます。このようにして、入力 x(t) に対する出力 y(t) はそれぞれの細いパルスに対する応答の合計となります。
このパルスを極限まで細くすると下式を得ます。「三角関数」の基本的な定理とその有用性を再確認してみませんか（その１）－正弦定理、余弦定理、正接定理－ | ニッセイ基礎研究所
「三角関数」の基本的な定理とその有用性を再確認してみませんか（その１）－正弦定理、余弦定理、正接定理－
保険研究部 研究理事 中村 亮一
ピタゴラスの定理
まずは、「ピタゴラスの定理」である。これは、多くの皆さんがご存じの通り、「直角三角形において、長辺の二乗の和が、他の2辺の二乗の和に等しい」というものである。算式で示せば、「直角三角形の3辺の長さをa（長辺）、b、cとした時に、a 2 =b 2 デルタ関数とその性質 ＋c 2 が成り立つ」というものである。
これから、以下の「ピタゴラスの基本三角関数公式」が成り立つことがわかる。
右図の三角形において、sinθ＝c／a、cosθ＝b／a、tanθ＝c／b
sin 2 θ＋cos 2 θ＝（c／a） 2 ＋（b／a） 2 ＝（c 2 +b 2 ）／a 2 デルタ関数とその性質 ＝１
このように、sin、cos、tan というのは、互いに独立なものではない。角度θが決まっていれば、もちろんsin、cos、tanを算出することができるが、一方でθの値が不明でも、sin、cos、tanのどれか１つの値が定まると、他の値も上記の算式等を用いて求めることができることになる。
［証明］
右図のように、∠CABが鋭角のケースを考える（大学の入試問題の解答としては、∠CABが直角や鈍角のケースも含めて場合分けして証明しなければ及第点はもらえないが、以下では鋭角のケースのみを示している。以下、同様）。a 2 ＝（b sinα） 2 ＋（c―b cosα） 2
＝ b 2 sin 2 α＋c デルタ関数とその性質 2 ―2bc cosα＋b 2 cos 2 α
＝ デルタ関数とその性質 b 2 （sin 2 α＋cos 2 α）＋c 2 ―2bc cosα
＝ b 2 ＋c 2 ―2bc cosαなお、「余弦定理」と呼ばれているものには、「第一余弦定理」と「第二余弦定理」があり、通常「余弦定理」と呼ばれている上記の定理は、このうちの「第二余弦定理」のことを指している。
因みに「第一余弦定理」は、以下のものであり、「三角形の２辺とそれらに対峙する角の角度がわかっているときに、もう 1 デルタ関数とその性質 辺の長さが決まる」というものである。
これは、「三角形の1辺の長さとその両端の２つの角度から、他の2辺の長さを求める」ものである。さらに、この三角形の外接円 1 の半径をRとすると、以下の算式が成り立つ。
このうち、先の算式の証明は、以下の通りとなる。
a sinβ＝b sinα
また、後の算式は、外接円の中心Oを通る補助線を引くことで、
sin∠CA´B＝a／2R
となるが、ここで「円周角の定理」 2 により、∠CABと∠CA´Bは等しいので
が得られる。
この「正弦定理」は、いわゆる「三角測量」と呼ばれるものに利用される。
右図において、測定対象となるCまでの距離dは、2地点AB間の距離cとA、Bにおける角度α、βを用いて、以下のように表される。
｛証明｝
c＝AD＋DB＝d／tanα＋d／tanβ＝d（cosα／sinα＋cosβ／sinβ）
＝d（sinα・cosβ＋cosα・sinβ）／sinα・sinβsin（α＋β）= sinα・cosβ＋cosα・sinβ であるから、上式が得られる。
1 全ての三角形には、外接円（３つの頂点と接する円）が存在する。 デルタ関数とその性質
2 「円周角の定理」は、(1)1つの弧に対する円周角は等しい、(2)その円周角はその弧に対する中心角の半分に等しい、というものである。円周上の2点A、Bを円周上の点Cと結ぶことによって形成されるのが「円周角」であり、中心Oと結ぶことによって形成されるのが「中心角」である。従って、弧ABが半円（線分ABが中心Oを通る場合、円周角は90°となる（「ターレスの定理」）。
3 これに対して、「三辺測量」は、三角網と呼ばれる非常に大きな三角形群の各辺の距離を正確に測ることにより、三角点の位置を正確に求めるものである。ディラックデルタ（インパルス）信号は電力信号ですか、それともエネルギー信号ですか？
@Jazzmaniac オブジェクトを定義するとどうなりますか δ ( t ) 2 それ自体が通常の機能の制限として、（通常のように δ ( t ) 以下のように定義されています）： δ ( t ) 2 = lim Δ → 0 F Δ ( デルタ関数とその性質 t ) どこ F Δ ( t ) = p Δ ( t ) デルタ関数とその性質 p Δ ( t ) = p δ ( t ) 2 . したがって、少なくとも、一般化された関数の二乗の性質について自問することはありません。むしろ、それ自体は、 デルタ関数とその性質 δ ( t ) 、直接定義されています. それは役に立ちますか？
連続ディラックデルタ δ 真の関数または信号ではなく、分布と見なされます。ウィキペディアのページから：
デルタ関数は、1次元の場合とまったく同じように分布という意味でも定義できます。[25] ただし、分布の積は 非常に狭い状況でのみ定義できるため、エンジニアリングコンテキストで広く使用されているにもかかわらず、（2）は注意して操作する必要があります。
これは、次のように定義できます。 f いくつかの重要な特性を満たすために、そして a ∈ R ：
私の知る限りでは、これらの重要な特性は δ なので、直接置き換えることはできません f 沿って δ 意味のある結果が得られます。知っている限りでは、2つのディラック分布の積は、1つが話さない限り、明確に定義されていません n 3次元バージョン、またはたとえば物理学で使用されるいわゆる「正式な」操作、またはより複雑な数学。ニコラスウィーラーは、ディラックのデルタ関数IDの簡略化された生成について簡単に説明しています。さらに深く掘り下げたい場合は、2005年にTa Ngoc Triによる一般関数のコロンボー理論を提案します。
1つの結果は、 シュワルツ不可能結果です。それは（どういうわけか）ライプニッツの導出のルールを維持しながら継続的に微分可能な関数の導関数を包含したい場合、 δ 2 ( | x | ) = 0 。
この製品はエネルギーでもパワーでもないと言うとき、あなたは機能の意味で意味しますか x ( t ) = t u ( t ) エネルギーでも電力信号でもありません（無限のエネルギーと無限の平均電力があるため）？それとも、定義されていない（または決定できない）という意味ですか？
私は私の答えを費やしていて、@ endolith（良い動きで）がいくつかの編集を行い、私の修正が失われました（Chromeを使用しているため）。したがって、やり直すエネルギーが見つかるまで：まず、エネルギー/電力特性を評価できるDSPに役立つ、ユニークで十分に根拠のあるディラックの正方形の定義を見つける方法がない限り、（IMO）ではありません伝統的な平凡な方法。第二に、一意でないか決定できない場合、「電力/エネルギーではない公理」を追加することを選択する必要があります。そのような製品は、現時点では私の心にはワイルドすぎる（たとえば i × i 過去）
δ ( x ) 実際には存在しないすべてのいずれかの特定のために x 。ローランデュバルが言ったように、ディラックは R → R デルタ関数とその性質 関数ではなく、マッピング全体 は、関数であり、特定のポイントで評価された関数の値に関数をマッピングします。おそらく、ような専用の記号でそれを反映することは理にかなっています （これは、書き込みに理にかなっている理由、それがあるかのようであった関数は、任意の点である正方形積分関数類似に機能的に生じさせますつまり、
これは、実際にはと間のスカラー積です。関数空間はヒルベルト空間です。ディラックデルタ表記の利点は、このような実関数汎関数とディラック汎関数の重ね合わせを記述できることです。たとえば、ハイパスインパルス応答 これは実際には実装できない関数であり、概算のみですが、概念を捉えています。 L 2 f g L 2
したがって、は関数ではないため、と記述しても意味がないと考える理由はありません。その式では、変数に対して実行される積分の下でデルタが1回だけ発生しないからです。あなたがその周りに積分を書いたとしても、それは常にその中に同じパラメーターを持つ2つのデルタを持ち、それは定義されていません。 δ | δ ( t ) | 2
テンメイのＲＵＮ＆ＢＩＫＥ
のような場合、つまり無限大（＋∞）への「 デルタ関数とその性質 発散 」
ｘ に対して、０＜｜ｘ－ａ｜＜δならば ｆ（ｘ）＞Ｍ 」。
Ｐ．Ｓ．４ 「∀」という記号 は、「すべての」というよりは「あらゆる」という意味、つま
うより、 「Ａｎｙ」（＝あらゆる，いかなる）の頭文字「Ａ」の逆 と考える方が
2009年5月 5日 (火) 15時04分 数学 | 固定リンク | 0
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(2022.05.21) (2022.04.02) (2022.03.19) (2022.03.05) (2022.02.08)
あの 言葉だけではわかりにくいのですが
リミットxが限りなくちかずくとき
サインx分のxって１らしいのですが
私は１＋０だとおもうのですが
どうでしょう？投稿: Uguisugarasu | 2011年2月 4日 (デルタ関数とその性質 金) 20時49分
違ってたらすみませんが、文体と内容から考えて、
高校生くらいでしょうね。
あるいは、中高一貫教育の優秀な中学生とか。
「ｘ→０ の時、ｘ／ｓｉｎ ｘ →１」
というのは、高校・数Ⅲの極限の基本。 デルタ関数とその性質
「１らしいのですが 私は１＋０とおもう」ね。
なるほど、そう言えば僕も高校時代、
似たような事を考えてた気がします。ただ、関数の値の方には、「１＋０」という
書き方が無いんですよ。
この場合だと「ｘ／ｓｉｎｘ →１＋０」とは書かない。
意味は分かるし正しいけど、慣習とか約束事の問題。理由は知りませんが、そうした書き方は変数の側だけです。
例えば、「ｘ→２＋０」とか。
右方極限とか右側極限（値）と呼ばれるものを
求める時の書き方ですね。
ひょっとすると一部の専門家が、論文や講義の中で
新たに定義して、関数の値の方にも「＋０」という
書き方を使ってる可能性は一応あります。ただ、学生がテストで書くと減点されるかも
知れないので、避けた方が無難でしょう。
もし書くとしたら、記述試験の難問で、答案の中で
新たに自分で定義した後でしょうね。。投稿: テンメイ | 2011年2月 5日 (土) 07時30分
投稿: gauss | 2011年2月 6日 (日) 20時59分
数学のいい所は、理論的完成度の高さだけじゃなく、
それがずっと持続することですね。
数十年～数千年のレベルで。
これに匹敵するのは、論理学や物理学の基礎理論、
あるいは伝統的宗教くらいでしょうか。そういった内容で、一度きっちりした記事を書いとくと、
数年後にも価値が持続し、読者が集まって来る。
簡単なやり取りでも嬉しいし、刺激にもなりますね。
今回の質問なんて、初々しくて微笑ましい♪
論点がズレるけど、その極限値だけで何か
記事を書いてみようかなって気にもなります。ただ、理論と違って、自分の記事の価値を持続させるには、
Ｇｏｏｇｌｅとか、検索サイトの評価を保つ必要がある。
これが大変なタダ働きなわけです。
周囲の冷たい視線に耐えるのも大変な苦行 (^^ゞ
正直、実態は「さわやか」さとはかけ離れてますね。見返すためにも、有名ブロガーとして成功してやろうと
思ったりしますが、５年半頑張ってもまだ程遠い状況。
肩の力を抜くのがいいか、あるいはもっと入れるべきか、
迷い続ける小市民ブロガーの毎日です。。関連記事
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